Bài này ứng dụng bài toán đồng phẳng đã chứng minh cho em hồi sáng:

4 điểm M, A', B', C', D' đồng phẳng nên với điểm S bất kì ta có:

\(\overrightarrow{SM}=m.\overrightarrow{SA'}+n.\overrightarrow{SB'}+p.\overrightarrow{SC'}\)

Khi đó \(m+n+p=1\)

Giải như sau:

Đặt \(\dfrac{SA}{SA'}=x;\dfrac{SB}{SB'}=y;\dfrac{SC}{SC'}=z\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}=x.\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB}=y.\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC}=z.\overrightarrow{SC'}\)

Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}\)

\(\Rightarrow x.\overrightarrow{SA'}+y.\overrightarrow{SB'}+z.\overrightarrow{SC'}=3\overrightarrow{SG}=6\overrightarrow{SM}\) (do M là trung điểm SG)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}.\overrightarrow{SA'}+\dfrac{y}{6}.\overrightarrow{SB'}+\dfrac{z}{6}.\overrightarrow{SC'}=\overrightarrow{SM}\)

Do M;A'B'C' đồng phẳng 

\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1\) \(\Rightarrow x+y+z=6\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SC}{SC'}=6\)

Với bài toán trắc nghiệm (hoặc cần kiểm chứng kết quả) chỉ cần chọn trường hợp đặc biệt là (P) song song đáy, khi đó theo Talet thì A', B', C' lần lượt là trung điểm các cạnh nên ta dễ dàng tính ra tổng cần tính là 2+2+2=6

Chọn A

Đáp án A

Giả sử  S A → = x S A ' → ;    S B → = y S B ' → ;    S C → = z S C ' →   .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G A → + G B → + G C → = 0 .

⇒ 3 G S → + S A → + S B → + S C → = 0

⇒ S G → = S A → 3 + S B → 3 + S C → 3 ⇒ S G → = x 3 . S A ' → + y 3 . S B ' → + z 3 . S C ' →    1

Do   A ' B ' C ' đi qua G nên ba vectơ   G A ' → ; G B ' → ; G C ' → đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số   i ; m ; n , i 2 + m 2 + n 2 ≠ 0 sao cho  i . G A ' → + m . G B ' → + n . G C ' → = 0

i + m + n . G S → + i . S A ' → + m . S B ' → + n . S C ' → = 0

⇒ S G → = i i + m + n S A ' → + m i + m + n S B ' → + n i + m + n . S C ' →    2

Do S G ; S A ' ; S B ' ; S C '  không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

x 3 = i i + m + n ;    y 3 = m i + m + n ;     z 3 = n i + m + n

x + y + z 3 = i + m + n i + m + n = 1 ⇒ x + y + z = 3

Ta có  1 S A ' 2 + 1 S B ' 2 + 1 S C ' 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực   x a ; y b ; z c và   a ; b ; c ta có .

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ x + y + z 2

⇔ 1 S A ' 2 + 1 S B ' 2 + 1 S C ' 2 ≥ x + y + z 2 a 2 + b 2 + c 2 = 3 a 2 + b 2 + c 2

Dấu “=” xảy ra khi  x 2 a 2 = y 2 b 2 = z 2 c 2

Gọi E là giao điểm của CG với AB, F là giao điểm của AG với BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AG cắt BC tại F

Do đó: F là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

CG cắt AB tại E

Do đó: E là trung điểm của AB

Chọn mp(SEC) có chứa SG

Trong mp(SAB), gọi K là giao điểm của BM với SE

\(K\in SE\subset\left(SEC\right);K\in BM\subset\left(BMN\right)\)

=>\(K\in\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)\)

\(N\in SC\subset\left(SEC\right);N\in\left(BMN\right)\)

=>\(N\in\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)\)

=>\(\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)=KN\)

Gọi I là giao điểm của SG với KN

=>I là giao điểm của SG với mp(BMN)

Chọn đáp án D

Ta có

Khi đó 

Gọi I là trung điểm của AB.

Ta có SA=SB=AB=CA=CB=a nên tam giác SAB và tam giác ABC đều cạnh a.

Khi đó A B ⊥ S I , A B ⊥ C I  và S I = C I = a 3 a  

Mặt khác S I = C I = S C = a 3 2  nên ∆ S I C  đều

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MNP)  và (ABC) bằng  60 0

Dễ dàng chứng minh MN // BC

Xét \(\Delta SBC\) có MN // BC và MN đi qua trọng tâm G

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}SM=\frac{2}{3}SB\\SN=\frac{2}{3}SC\end{cases}\)

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích đố với 2 khối tứ diện S.AMN và S.ABC ta có

\(\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\\ \Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{4}{9}.V_{S.ABC}\)

Tính được \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.BC=\frac{a^3}{6}\)

\(\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{2a^3}{27}\)